向量a,b满足|a|=2 ,|b|=1,其夹角为120,对于任意向量m,总有(m-a)(m-b)=0,则|m|的最大值与最小值之差为?
问题描述：
向量a,b满足|a|=2 ,|b|=1,其夹角为120,对于任意向量m,总有(m-a)(m-b)=0,则|m|的最大值与最小值之差为?
答
|a|=2,|b|=1,=2π/3,则：a·b=|a|*|b|*cos(2π/3)=-1
|a+b|^2=()()=|a|^2+|b|^2+2a·b=5-2=3,即：|a+b|=sqrt(3)
则：(m-a)·(m-b)=|m|^2+a·b-m·(a+b)=|m|^2+a·b-m·(a+b)
=|m|^2-1-m·(a+b)=|m|^2-1-|m|*|a+b|*cos=0
即：cos=(|m|^2-1)/(sqrt(3)|m|),而：cos∈[-1,1]
故：(|m|^2-1)/(sqrt(3)|m|)∈[-1,1],解这个不等式可得：
(sqrt(7)-sqrt(3))/2≤|m|≤(sqrt(7)+sqrt(3))/2
故：|m|的最大最小值之差是：sqrt(3)
最好用数形结合：
|a-b|=sqrt(7),以|a-b|为直径画一个圆,则m在这个圆山运动,当m经过
a-b的中点时,|m|取最大值,即：sqrt(7)/2+sqrt(3)/2
这个sqrt(3)/2用余弦定理容易算出,当m的方向与上面的相反时
|m|取最小值,即：sqrt(7)/2-sqrt(3)/2sqrt 什么意思啊？ 我才是高中生，不懂根号呀，二次根下，sqrt(2)=1.414