怎么证明“根号下|a-b|>=根号下a-根号下b”在a>0,b>0的情况下恒成立

问题描述:

怎么证明“根号下|a-b|>=根号下a-根号下b”在a>0,b>0的情况下恒成立
知道要分类讨论,

应该是√|a-b|≥|√a-√b|吧?
因为不等式中,a、b对称,所以不妨假设a≥b
那么(√|a-b|)²=a-b;(|√a-√b|)²=a+b-2√ab.
那么(√|a-b|)²-(|√a-√b|)²=(a-b)-(a+b-2√ab)=-2(b-√ab)=-2√b(√b-√a)
=2√b(√a-√b)
因为假设a≥b,所以√a-√b≥0
所以2√b(√a-√b)≥0
所以(√|a-b|)²≥(|√a-√b|)²
所以√|a-b|≥|√a-√b|是 √|a-b| ≥ √a-√b那么就更好办了。√|a-b|≥|√a-√b|≥ √a-√b(一个数的绝对值大于等于这个数,所以√a-√b的绝对值大于等于√a-√b)我前面已经证明了当a>b>0时,不等式是成立的。因为当a>b>0时,|√a-√b|= √a-√b。当a=b时,√|a-b|=0,√a-√b=0,不等式成立。当00,√a-√b0,b>0都有√|a-b| ≥ √a-√b成立其实我证明的√|a-b|≥|√a-√b|是比你提出的√|a-b| ≥ √a-√b更严格的不等式。如果√|a-b|≥|√a-√b|成立,必然有√|a-b| ≥ √a-√b成立。如果√|a-b| ≥ √a-√b成立,不一定有√|a-b|≥|√a-√b|。你想想吧