某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为10米.当x等于多少米时,窗户的透光面积最大,最大面积是多少?
问题描述:
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为10米.当x等于多少米时,窗户的透光面积最大,最大面积是多少?
答
设窗户上半部半圆的半径为x(m),下半部矩形的宽为y(m),窗户面积为S(m2),则4y+6x+πx=10,y=
10−6x−πx 4
∵S半圆=
πx2,1 2
S矩形=2x•
=−3x2−10−6x−πx 4
πx2+5x1 2
S=S半圆+S矩形=-3x2+5x=-3[(x-
)2-5 6
]=-3(x-25 36
)2+5 6
.25 12
∵-3<0,
∴窗户面积有最大值.当x=
时,5 6
S最大=
(m2),25 12
所以当窗户的半圆半径为
时,窗户的透光面积最大,最大面积是 5 6
平方米.25 12