某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为10米.当x等于多少米时,窗户的透光面积最大,最大面积是多少?

问题描述:

某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为10米.当x等于多少米时,窗户的透光面积最大,最大面积是多少?

设窗户上半部半圆的半径为x(m),下半部矩形的宽为y(m),窗户面积为S(m2),则4y+6x+πx=10,y=

10−6x−πx
4

∵S半圆=
1
2
πx2
S矩形=2x•
10−6x−πx
4
=−3x2
1
2
πx2+5x

S=S半圆+S矩形=-3x2+5x=-3[(x-
5
6
2-
25
36
]=-3(x-
5
6
2+
25
12

∵-3<0,
∴窗户面积有最大值.当x=
5
6
时,
S最大=
25
12
(m2),
所以当窗户的半圆半径为
5
6
时,窗户的透光面积最大,最大面积是
25
12
平方米.