A和B都是n阶实对称矩阵,则A与B合同的充分必要条件是(  ) A.R(A)=R(B) B.A与B相似 C.A与B正、负特征值个数相同 D.tr(A)=tr(B)

问题描述:

A和B都是n阶实对称矩阵,则A与B合同的充分必要条件是(  )
A. R(A)=R(B)
B. A与B相似
C. A与B正、负特征值个数相同
D. tr(A)=tr(B)

①选项A.由A与B合同,知存在可逆矩阵C,使得CTAC=B,因此R(A)=R(CTAC)=R(B),但反之,不成立,故A错误;
②选项B.由于A与B相似,则存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B;而A与B合同,是指存在可逆矩阵C,使得CTAC=B,P与C、P-1与CT不一定相等,故B错误;
③选项C.由于对称矩阵合同的充分必要条件就是正负惯性指数相同,也就是正负特征值的个数相同,因此C正确;
④选项D.tr(A)=tr(B)只能说明两个矩阵的迹相同,即特征值之和相同,这与两个矩阵合同毫无关系.
故选:C.