已知直线y=kx＋3与圆(x-1)²＋(y-2)²=4交于两点AB且弦长|AB|≧2√3求k的范围
问题描述：
已知直线y=kx＋3与圆(x-1)²＋(y-2)²=4交于两点AB且弦长|AB|≧2√3求k的范围
答
设A(x1,y1),B(x2,y2)
联立方程：
y=kx＋3……1
(x-1)²＋(y-2)²=4……2
1代入2得：(x-1)²＋(kx+3-2)²=4
整理,得：(1+k²)x²+(2k-2)x-3=0
由韦达定理：
x1+x2=(2-2k)/(1+k²)
x1x2=-3/(1+k²)
AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²= (x1-x2)²+[(kx1＋3)-(kx2＋3)]²
=(1+k²)(x1-x2)² =(1+k²) [(x1+x2)²-4x1x2]=(2-2k)²/(1+k²)+12
已知|AB|≥2√3,则AB²≥12
即：(2-2k)²/(1+k²)+12≥12,解不等式得：K≥(4+√7)/3,或K≤(4-√7)/3韦达定理是什么？韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。对于一元二次方程：设aX^2+bX+C=0（a不等于0）的两根为X1，X2则：X1+X2=-(b/a)，X1*X2=c/a。