如图,射线AM交一圆于点B、C,射线AN交该圆于点D、E,且BC=DE. (1)求证:AC=AE; (2)利用尺规作图,分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线,两线交于点F(保留作图痕迹,不写作法)

问题描述:

如图,射线AM交一圆于点B、C,射线AN交该圆于点D、E,且

BC
=
DE


(1)求证:AC=AE;
(2)利用尺规作图,分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线,两线交于点F(保留作图痕迹,不写作法),求证:EF平分∠CEN.

证明:(1)作OP⊥AM于P,OQ⊥AN于Q,连接AO,BO,DO.

BC
=
DE

∴BC=DE,
∴BP=DQ,
又∵OB=OD,
∴△OBP≌△ODQ,
∴OP=OQ.
∴BP=DQ=CP=EQ.
直角三角形APO和AQO中,
AO=AO,OP=OQ,
∴△APO≌△AQO.
∴AP=AQ.
∵CP=EQ,
∴AC=AE.
(2)∵AC=AE,
∴∠ACE=∠AEC.
∴∠ECM=∠CEN.
由于AF是CE的垂直平分线,
∴CF=EF.
∴∠FCE=∠FEC=
1
2
∠MCE=
1
2
∠CEN.
因此EF平分∠CEN.