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已知向量a=（cos32x，sin32x），b=（cosx2，-sinx2），且x∈[0，π2]，（1）求a•b及|a+b|；（2）若f（x）=a•b-2λ|a+b|的最小值是-32，求实数λ的值．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 22:46:47
问题描述：

已知向量

a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[0，
π
2
]，
（1）求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（2）若f（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|的最小值是-
3
2
，求实数λ的值．

答

（1）由题意可得a•b=cos32xcosx2-sin32xsinx2=cos2x，a+b=（cos32x+cosx2，sin32x-sinx2），∴|a+b|=(sin3x2+cosx2)2+(sin3x2−sinx2)2=2+2cos2x=2|cosx|．∵x∈[0，π2]，∴1≥cosx≥0，∴|a+b|=2cosx．（2）由（...
答案解析：（1）由题意利用两个向量的数量积公式求得

a
•
b
，再根据
a
+
b
的坐标，求得|
a
+
b
|的值．
（2）由（Ⅰ）得 f（x）=2（cosx-λ）2-1-2λ2，再结合1≥cosx≥0可得，分类讨论，利用二次函数的性质，根据f（x）的最小值是-
3
2
，分别求得实数λ的值，综合可得结论．
考试点：平面向量数量积的运算．
知识点：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．

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