∫dx/(1+2cos)^2=Asinx/(1+2cosx)+B∫dx/(1+2cosx)求常数A,B.
问题描述：
∫dx/(1+2cos)^2=Asinx/(1+2cosx)+B∫dx/(1+2cosx)求常数A,B.
答
∵∫［1/（1＋2cosx）^2］dx＝Asinx/（1＋2cosx）＋B∫［1/（1＋2cosx）］dx,
∴两边取导数,得：1/（1＋2cosx）^2＝［Asinx/（1＋2cosx）］′＋B/（1＋2cosx）,
∴1/（1＋2cosx）^2
＝［Acosx（1＋2cosx）－Asinx（1＋2cosx）′］/（1＋2cosx）^2＋B/（1＋2cosx）,
＝［Acosx＋2A（cosx）^2＋2A（sinx）^2］/（1＋2cosx）^2＋B/（1＋2cosx）,
＝（2A＋Acosx）/（1＋2cosx）^2＋B/（1+2cosx）.
去分母,得：1＝2A＋Acosx＋B（1＋2cosx）,
∴（A＋2B）cosx＋2A＋B－1＝0.
显然,cosx可以不为0,∴A＋2B＝0、且2A＋B－1＝0.由此容易得出：A＝2/3、B＝－1/3.