如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=1/2AP=2，D为AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使点P在平面ABCD上的射影为点D，如图2．（I）求证：AP∥平面EFG；（

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:02:33

问题描述：

如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=

AP=2，D为AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使点P在平面ABCD上的射影为点D，如图2．
（I）求证：AP∥平面EFG；
（Ⅱ）求三棱锥P-ABC的体积．

答

（I）证明：取AD的中点H，连接FH、GH．
∵E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，∴EF∥CD，CG

∥

DH，
∴四边形CDHG是平行四边形，∴CD∥GH．
∴EF∥GH．∴四点EFHG四点共面．
又FH∥PA．
PA⊄平面EFGH，FH⊂平面EFGH．
∴PA∥平面EFGH．
（II）∵点P在平面ABCD上的射影为点D，∴PD⊥平面ABCD．
即PD是三棱锥P-ABC的高．
而S△A BC＝

×AB×BC＝

×2×2=2．
∴三棱锥P-ABC的体积V=

S△ABC×PD=

×2×2＝

．

如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=1/2AP=2，D为AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使点P在平面ABCD上的射影为点D，如图2． （I）求证：AP∥平面EFG； （