在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若点M∈C1,点N∈C2,求|MN|的取值范围; (2)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l

问题描述:

在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若点M∈C1,点N∈C2,求|MN|的取值范围;
(2)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2

3
,求直线l的方程.

(1)∵圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4的圆心坐标为(-3,1),半径为2,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4的圆心坐标为(4,5),半径为2,
∴|C1C2|=

65

65
-4≤|MN|≤
65
+4;
(2)由于直线x=4与圆C1没有交点,则直线l的斜率存在,设直线l的方程为:y=k(x-4),即kx-y-4k=0,
∴圆心C1到直线的距离为d=
|7k+1|
k2+1

∵直线被圆C1截得的弦长为2
3

∴d=1,即
|7k+1|
k2+1
=1.
整理得48k2+14k=0,解得k=0,或k=-
7
24

所求直线方程为y=0,或7x+24y-28=0.