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如图，已知梯形ABCD，AB∥CD，∠B=90°，BC=6cm，CD=12cm，AB=20cm．动点P从A点出发，沿AD方向匀速向D运动，速度为1cm∕s；动点Q从B出发，沿BA方向匀速向A运动，速度为2cm∕s；当其中一个到达端点时

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:00:57
问题描述：

如图，已知梯形ABCD，AB∥CD，∠B=90°，BC=6cm，CD=12cm，AB=20cm．动点P从A点出发，沿AD方向匀速向D运动，速度为1cm∕s；动点Q从B出发，沿BA方向匀速向A运动，速度为2cm∕s；当其中一个到达端点时，两点同时停止运动．若两点同时出发，运动时间为t（s）（t＞0），△CPQ的面积为y（cm2）．

（1）求点P到AB的距离；（用含t的代数式表示）
（2）t为何值时，△APQ是以AQ为底的等腰三角形；
（3）求y与t之间的函数关系式．

答

（1）作DE⊥AB于点E，PF⊥AB于点F，
∵ABCD，AB∥CD，∠B=90°，
∴四边形DEBC为矩形，
∵BC=6cm，CD=12cm，AB=20cm，
∴DE=BC=6cm．AE=AB-EB=20-12=8cm，
∴AD=10cm，
∵动点P从A点出发，沿AD方向匀速向D运动，速度为1cm∕s；动点Q从B出发，沿BA方向匀速向A运动，速度为2cm∕s；
∴AP=tcm，
∵△APF∽△ADE，
∴

AP
AD
＝
PF
DE
，
即：
t
10
=
PF
6

∴PF=
3
5
t
∴点P到AB的距离为
3
5
t；
（2）当△APQ是以AQ为底的等腰三角形时，
AP=PQ，
此时，AF=FQ=
1
2
AQ=
1
2
（AB-BQ）=
1
2
（20-2t）=（10-t）cm，
在Rt△AFP中，AP2=AF2+PF2，
∴（10-t）2+（
3
5
t）2=t2，
解得：t=50（舍去）或t=
50
9

∴当t=
50
9
时，△APQ是以AQ为底的等腰三角形；
（3）在Rt△APF中，
∵AP=t，PF=
3
5
t
∴AF=
4
5
t，
∴y=S梯形PFBC-S△PFQ-S△BCQ
=
1
2
（PF+BC）•FB-
1
2
PF•FQ-
1
2
BC•BQ
=
1
2
[（
3
5
t+6）（20-
4
5
t）-
3
5
t（10-t）-6×2t]
=
9
25
t2-
12
5
t+60．

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