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设M是圆x2+y2-6x-8y=0上的动点，O是原点，N是射线OM上的点，若|OM|•|ON|=150，求点N的轨迹方程．

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:05:39
问题描述：

设M是圆x2+y2-6x-8y=0上的动点，O是原点，N是射线OM上的点，若|OM|•|ON|=150，求点N的轨迹方程．

答

设M、N的坐标分别为（x1，y1），（x，y），
由题设|OM|•|ON|=150，得

x 21
+
y 21
•
x2+y2
＝150，
当x1≠0，x≠0时，∵N是射线OM上的点，
∴有
y
x
＝
y1
x1
，设
y
x
＝
y1
x1
=k，
有y=kx，y1=kx1，则原方程为x12+k2x12-6x1-8kx1=0，
由于x≠0，所以（1+k2）x1=6+8k，
又|x1x|（1+k2）=150，因为x与x1同号，
所以x1=
150
(1+k2)x
，代入上式得
150
x
=6+8k，
因为k=
y
x
，所以
150
x
=6+8
y
x
，
化简可得：3x+4y-75=0为所求．

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