关于微分的几何意义,通常看到这样的表达:"设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量.当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段."但有的书上又讲是"当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),".到底是"|Δy－dy|比|Δy|要小得多"还是"|Δy－dy|比|Δx|要小得多",这两种说法到底有什么不同?
问题描述：
关于微分的几何意义,通常看到这样的表达:
"设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量.当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段."但有的书上又讲是"当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),".到底是"|Δy－dy|比|Δy|要小得多"还是"|Δy－dy|比|Δx|要小得多",这两种说法到底有什么不同?
答
到底是"|Δy－dy|比|Δy|要小得多,另一句是错误的说法!
当"|Δy－dy|是|Δy|的高阶无穷小时,相当于当|Δx|->0 时,|dy| -> |Δy|
所以可以用切线段来近似代替曲线段