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证明:f(x)在[0,1]连续,f(0)=f(1),则存在x0(0

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:03:03
问题描述：

证明:f(x)在[0,1]连续,f(0)=f(1),则存在x0(0

数学人气：878 ℃时间：2020-05-12 15:05:57
优质解答
令f(0)=f(1)=a,f(1/2)=b,F(x)=f(x)-f(x+1/2)
分情况:
1.若a=b则
x0=1/2时f(x0)=f(1/2)=f(1)=f(x0+1/2)
显然满足
2.若aF(0)=f(0)-f(1/2)=a-bF(1/2)=f(1/2)-f(1)=b-a>0
且F(x)在[0,1/2]上连续
于是在(0,1/2)必存在一点x0使得F(x0)=0
即f(x0)=f(x0+1/2)
3.若a>b则
与2同样方法
F(0)>0,F(1/2)于是在(0,1/2)必存在一点x0使得F(x0)=0
f(x0)=f(x0+1/2)
综上所述,存在x0(0

答

令f(0)=f(1)=a,f(1/2)=b,F(x)=f(x)-f(x+1/2)
分情况:
1.若a=b则
x0=1/2时f(x0)=f(1/2)=f(1)=f(x0+1/2)
显然满足
2.若aF(0)=f(0)-f(1/2)=a-bF(1/2)=f(1/2)-f(1)=b-a>0
且F(x)在[0,1/2]上连续
于是在(0,1/2)必存在一点x0使得F(x0)=0
即f(x0)=f(x0+1/2)
3.若a>b则
与2同样方法
F(0)>0,F(1/2)于是在(0,1/2)必存在一点x0使得F(x0)=0
f(x0)=f(x0+1/2)
综上所述,存在x0(0

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