如果正整数n有以下性质:n的八分之一是平方数,n的九分之一是立方数,它的二十五分之一是五次方数,那么n就称为“希望数”,则最小的希望数是_.

问题描述:

如果正整数n有以下性质:n的八分之一是平方数,n的九分之一是立方数,它的二十五分之一是五次方数,那么n就称为“希望数”,则最小的希望数是______.

设最小的希望数是n,则n能被8,9,25整除,8,9,25两两互质既然是最小的,就不应该有其它的因数了,
n=8a•9b•25c因为n的八分之一是平方数,所以a是奇数,b和c是偶数因为n的九分之一是立方数,
所以b除以3余数是1,a和c能被3整除因为n的二十五分之一是五次方数,
所以c除以5余数是1,a和b能被5整除所以a最小是5,b最小是10,c最小是6,
所以最小的希望数是215•320•512=30233088000000.
故答案为:215•320•512