过椭圆x2a2+y2b2＝1的左焦点作直线交椭圆于A、B两点，若存在直线使坐标原点O恰好在以AB为直径的圆上，则椭圆的离心率取值范围是（　　） A.(0，32] B.[32，1) C.(0，5−12] D.[5−12，1)

答

设l：x=-c+my代入椭圆方程得：

(-c+my)2

a2

+

y2

b2

=1，
整理得：（b²m²+a²）y²-2mcb²y-b⁴=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁，y₂为上述方程的两个根，
∴y₁+y₂=

2mcb2

b2m2+a2

，y₁y₂=-

b4

b2m2+a2

，①
∵OA⊥OB，
∴（-c+my₁）（-c+my₂）+y₁y₂=0．
∴c²-mc（y₁+y₂）+（m²+1）y₁y₂=0，将①代入，整理得：
a²c²-（c²b²+b⁴）m²-b⁴=0，
∴（c²b²+b⁴）m²=a²c²-b⁴≥0，
∴a²c²≥（a²-c²）²，又e=

c

a

，
∴e⁴-3e²+1≤0，
∴

3- 5

2

≤e²≤

3+ 5

2

，而0<e<1，
∴

3- 5

2

≤e²<1，
∴

5 -1

2

≤e<1．
故选D．