圆锥曲线题的解答
问题描述：
圆锥曲线题的解答
在平面直角坐标系中,抛物线y=x2上不同于坐标原点的两个动点AB,满足OA垂直于OB.1）：求AOB重心的轨迹方程.2）：三角形AOB的面积是否存在最小值,若存在,请求出
答
设A(a,a^2),B(b,b^2),三角形OAB重心为P(x,y),由题设易知a,b不为0
则有：
x=(a+b)/3
y=(a^2+b^2)/3
由OA垂直于OB,可知向量OA乘OB为0,即
(a,a^2).(b,b^2)=0,得 ab(ab+1)=0
由于a,b均不为零,故有 ab=-1,将x,y,ab代入
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
可得 (3x)^2=3y-2,也即 y=3x^2+2/3
至于三角形OAB的面积,
|OA|^2*|OB|^2=(a^2+a^4)*(b^2+b^4)=a^2*b^2*(1+a^2)(1+b^2)
由于 ab=-1,故有 b=-1/a,代入上式可得
|OA|^2*|OB|^2=2+a^2+a^(-2)>=2+2=4
所以三角形OAB的面积 |OA||OB|/2>=1