求极限问题时为什么泰勒公式中余项（高阶无穷小）直接可写成零

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• 有关微分定义,条件和几何意义理解上问题!1.有关定义理解：我不懂定义其中写明△y=A△X+o（△x）这个是怎么变化过来的,（我是专科生,不需要太深奥的讲解,△y是增量）2.这个条件不理解的地方也是和上一个相同,也许不同的地方：必要条件为什么是说函数在该点可导,在微分的定义中说是在某邻域内有定义,并没说可导,极限在△X趋向于0时△y/△x的值么?为什么说这点有微分则可导,我不需要从公式上理解,我想知道从定义方向的理解.3.有关微分的几何意义,说是研究切线上的变化,从公式上微分等于该点导数乘以x的增量,这个我倒是明白,可是从定义上,y的增量减去该点的微分为x的增量的高阶无穷小,这我就不太明白了!怎么从定义知道他的几何意义.
• 用导数定义在求cosx的导数时,我是这样做的,lim[cos(x+h)-cosx]/h=lim[cosx*cosh-sinx*sinh-cosx]/h接下来下该怎么做,为什么?我是想将h为0时直接代入cosh中,这样cosx-cosx为零,接下来sinh再用等价无穷小代换为h,计算结果为-1.可是如果将h为0时,sinh怎么办,sinx*sinh这一项就为零了,我这么做就是将式子中部分项代入极限,我感觉将式子拆开来代入不对.我感觉这就好比lim[tanx-sinx]/x将其中的sinx让x直接为0,之后让tanx用等价无穷小换为x.到底是哪里出问题了还有lim[tanx^2-sinx]/x我化简后等于lim[sinx-cosx]/cosx,我是想将化简后的式子等于limtanx-1,可是我又想到不能将im[sinx-tanx]/x拆成两部分算极限,我还想问limsinx/x-imtanx/x与lim[sinx-tanx]/x一样吗
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