为什么证明极坐标面积公式和弧长公式不太统一如ds=0.5p^2da而不是ds=0.5*p*弧长微分S是面积a是角度

您的问题是为什么 dS=½ ρ² dθ 而不是 dS=½ ρ 【√（ρ²＋ρ ' ²）】dθ.
教材利用元素法推导的过程是一个简化的过程.事实上要求ΔS - dS = o(dθ),在严格的推导下,只有第一个表达式能满足,而第二个表达式未必能满足这个要求.
在计算小曲边扇形面积时,第一个表达式是当成圆扇形计算；第二个是用弧微分（切线长）代替曲边,就是将小曲边扇形当成直角三角形计算,偏差较大.您若非专业数学,讲再细您就无法理解了.
对于圆 ρ =a 用第二个表达式求也可以得出同样结果,但对其他曲线围成的面积就不对了.