如图,点D是等边△ABC外一点,且DB=DC,∠BDC=120°,将一个三角尺60°的顶点放在点D上,三角尺的两边DP、DQ分别与射线AB、CA相交于E、F两点.(1)当EF∥BC时,如图①,证明:EF=BE+CF;(2)当三角尺绕点D旋转到如图②的位置时,线段EF、BE、CF之间的上述数量关系是否成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,写出EF、BE、CF之间的数量关系,并说明理由;(3)当三角尺绕点D继续旋转到如图③的位置时,(1)中的结论是否发生变化?如果不变化,直接写出结论;如果变化,请直接写出EF、BE、CF之间的数量关系.

问题描述:

如图,点D是等边△ABC外一点,且DB=DC,∠BDC=120°,将一个三角尺60°的顶点放在点D上,三角尺的两边DP、DQ分别与射线AB、CA相交于E、F两点.

(1)当EF∥BC时,如图①,证明:EF=BE+CF;
(2)当三角尺绕点D旋转到如图②的位置时,线段EF、BE、CF之间的上述数量关系是否成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,写出EF、BE、CF之间的数量关系,并说明理由;
(3)当三角尺绕点D继续旋转到如图③的位置时,(1)中的结论是否发生变化?如果不变化,直接写出结论;如果变化,请直接写出EF、BE、CF之间的数量关系.

如图,点D是等边△ABC外一点,且DB=DC,∠BDC=120°,将一个三角尺60°的顶点放在点D上,角的两边分别为DP、DQ(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°.∵DB=DC,∠BDC=120°,∴∠DBC=∠DCB=30...
答案解析:(1)根据△ABC是等边三角形知道AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°,而DB=DC,∠BDC=120°,这样可以得到△DCF和△BED
是直角三角形,由于EF∥BC,可以证明△AEF是等边三角形,也可以证明△BDE≌△CDF,可以得到DE=DF,由此进一步得到
DE=DF∠BDE=∠CDF=30°,这样可以得到BE=

1
2
DE=
1
2
DF=CF,而△DEF是等边三角形,所以题目的结论就可以证明出来了;
(2)结论仍然成立.如图,在AB的延长线上取点F’,使BF’=CF,连接DF’,根据(1)的结论可以证明△DCF≌△DBF’,
根据全等三角形的性质可以得到DF=DF’,∠BDF’=∠CDF,又∠BDC=120°,∠EDF=60°,可以得到:∠EDF’=∠CDF=60°,由此可以证明△EDF’≌△EDF,从而证明题目的结论.
(3)结论发生变化.EF=BE-CF.
考试点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.

知识点:此题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质;利用等边三角形的性质去探究全等三角形,利用全等三角形的性质解决题目的图形变换规律是非常重要的,要注意掌握.