(1)A为n阶可逆方阵,α,β为n维列向量,求证：det(A+αβT)=(1+βTA-1α)det(A) (2)设A=(aij)n×r满足rank(A)=r,求证：det(ATA)≠0

(1)考虑分块矩阵的行列式|H|=
A α
β^T -1
第2行减第1行的 β^TA,得
A α
0 -1-β^TA^-1α
所以 |H|= -(1+βTA^-1α)|A|.
另一方面,|H|第1行加第2行的α倍,得
A+αβ^T 0
β^T -1
所以 |H|=-|A+αβ^T|
所以 det(A+αβ^T)=(1+β^TA^-1α)det(A).
(2)
因为 r(A^TA)=r(A)=r
A^TA是r阶方阵
故 det(ATA)≠0.你第一问写的有点失误不过我还是看懂了，第二问r(ATA)=r(A)=r是为什么？这个应该是证明的关键吧哪里失误请告诉我r(ATA)=r(A) 是一个知识点, 证明AX=0 与 A^TAX 同解即可得.第2行减第1行的 β^TA, 得 应该是第2行减第1行的βTA-1，得 第二问我也记起来这么个东西了，谢谢啦哦哦, 漏逆符号了