若24a2+1=b2,求证:a和b中有且仅有一个能被5整除.

问题描述:

若24a2+1=b2,求证:a和b中有且仅有一个能被5整除.

由于b2-24a2=1,显然a和b不可能都被5整除.下面证明a和b不可能都不被5整除.
若a和b都不能被5整除,则a2和b2为5k±1型.
若a2和b2之一为5k+1型,另一为5k-1型,则a2+b2
能被5整除.由24a2+1=b2,得25a2+1=a2+b2.然而,25a2+1不能被5整除,所以a2和b2不可能一个为5k+1型,另一个为5k-1型.
若a2和b2同为5k+1型或同为5k-1型,则a2-b2能被5整除,而a2-b2=-(23a2+1).考察23a2+1的个位数:

由上表可看出23a2+1的个位数没有0或5,因此,23a2+1不能被5整除,从而a2-b2不能被5整除.所以,a2和b2不可能同为5k+1或同为5k-1型.
于是a和b有一个且仅有一个能被5整除.