W=（1+1）×1÷2+（1+2）×2÷2+（1+3）×3÷2..（1+n）×n÷2=½[（1+2+3+4+5.+n）＋（1²＋2²＋.＋n²）]＝½〔（1＋n）×n＋六分之一×n（n＋1）×（2n＋1）〕求第二步到第三步的原因,比谢

1+2+3+...+n公式是n(n+1)/2
1²＋2²＋。。。。。。。＋n²公式
给个算术的差量法求
我们知道 (m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1，可以得到下列等式：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.........
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1
以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n+1)/2 + n
其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2
化简整理得到：
Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6
不是我的版权

这是十七世纪的法国数学家帕斯卡想出的方法。
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

第二步是先提取1/2 ，然后采用裂项法逐项裂项；
第三步前半部分组成等差数列，后半部分是各项平方求和数列。

两个数列（1+2+3+4+5........+n）和（1²＋2²＋。。。。。。。＋n²）]
前n项和公式

1+2+3+……+n=n（n+1）/2
1²＋2²＋.＋n²=n*(n + 1)*(2n + 1)/6[高中不用证明的]
附：
给个算术的差量法求
我们知道 (m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1,可以得到下列等式：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1
以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n+1)/2 + n
其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + .+ n^2
化简整理得到：
Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6

从第一行到第二行，就是分配律乘出来一加
从第二行到第三行，用了两个求和公式
1.等差数列1+2+3+4+5........+n=n(1+n)/2
2.平方和数列1²＋2²＋。。。。。。。＋n²=n(n+1)(2n+1)/6
所以第三行是错误的，前面一项少了个1/2

W=（1+1）×1÷2+（1+2）×2÷2+（1+3）×3÷2.。。。。。（1+n）×n÷2
=（1+1）×1÷2+（1+2）×2×1÷2+（1+3）×3×1÷2.。。。。。（1+n）×n×1÷2
=（1+1）×1÷2+（2+2²）×1÷2+（3+3²）×1÷2.。。。。。（n+n²）×1÷2
=1/2[（1+1）+（2+2²）+（3+3²）.。。。。。（n+n²）]
=½[（1+2+3+4+5........+n）＋（1²＋2²＋。。。。。。。＋n²）]