请问如何证明数学中的以下几个公式：[f(x)g(x)]'=f(x)'g(x)+f(x)g(x)'
问题描述：
请问如何证明数学中的以下几个公式：[f(x)g(x)]'=f(x)'g(x)+f(x)g(x)'
这是高中数学中的导数运算法则
答
证明：
设y=f(x)g(x),则
Δy=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x);
=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x+Δx)+f(x)g(x+Δx)-f(x)g(x)
=g(x+Δx)[f(x+Δx)-f(x)]+f(x)[g(x+Δx)-g(x)]
=g(x+Δx)Δf+f(x)Δg
于是
(Δy/Δx)=(Δf/Δx)g(x+Δx)+f(x)(Δg/Δx)
因为
lim(Δy/Δx)=lim((Δf/Δx)g(x+Δx)+f(x)(Δg/Δx))
=lim(Δf/Δx)lim[g(x+Δx)]+f(x)lim(Δg/Δx)
且上式中,g'(x)存在,g(x)在点x处连续,所以lim[g(x+Δx)]=g(x)
因此原式被证.