顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与Y轴交点,A为抛物线上一点,|AM|=√17,|AF|=3,求抛物线方程.
问题描述：
顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与Y轴交点,A为抛物线上一点,|AM|=√17,|AF|=3,求抛物线方程.
答
过A作准线的垂线,垂足是B.则有AB=AF=3
勾股定理得MB=根号（AM^2-AB^2)=根号（17-9）=2根号2
即A的横坐标是：2根号2.
设抛物线方程是x^2=2py,(p>0)
那么A的纵坐标y=x^2/(2p)=4/p.
又根据抛物线的定义得：AB=y+p/2=AF=3
4/p+p/2=3
8+p^2=6p
p^2-6p+8=0
(p-2)(p-4)=0
p=2,p=4
即抛物线方程是x^2=4y或x^2=8y