设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0、方差为1/2的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差．
问题描述：
设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0、方差为
的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差． 1 2
答
令：Z=X-Y，
则由于X，Y相互独立，且服从正态分布，因而Z也服从正态分布，
且EZ=EX-EY=0-0=0，DZ=D（X-Y）=DX+DY=
+1 2
＝1，1 2
因此，Z=X-Y～N（0，1），
∴E|X-Y|=E|Z|=
|z|
∫
+∞−∞
e−1
2π
dz=z2 2
2
2π
ze−
∫
+∞0
dz=−z2 2
e−4
2π
z2 2
＝
|
+∞0
，
2 π
又：D|X-Y|=D|Z|=E|Z|2-[E|Z|]2=EZ2-[E|Z|]2=DZ+[EZ]2-[E|Z|]2=1+0-[E|Z|]2=1-[E|Z|]2，
∴D|X−Y|＝1−
．2 π