已知：如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点，CE=AC，F是AE的中点． （1）求证：BF⊥DF； （2）若AB=8，AD=6，求DF的长．
问题描述：
已知：如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点，CE=AC，F是AE的中点．
（1）求证：BF⊥DF；
（2）若AB=8，AD=6，求DF的长．
答
（1）证明：
连接BD交AC于O，连接FO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD=2AO=2CO，AO=CO，
∵F为AE中点，
∴FO=
CE，1 2
∵AC=CE，
∴FO=
AC=1 2
BD，1 2
即FO=OB=OD，
∴∠DFB=90°，
即BF⊥DF；
（2） ∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，由勾股定理得：BD=AC=10=CE，
∴BE=10-6=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=
=4
82+42
，
5
∵F为AE中点，
∴BF=
AE=21 2
，
5
在Rt△DFB中，DF=
=
BD2-BF2
=4
102-(2
)2
5
．
5