如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,点E、F分别在AB、DC上,AE=DF=2,现把一块直径为2的量角器(圆心为O)放置在图形上,使其0°线MN与EF重合;若将量角器0°线上的端点N固定在点F上,再把量角器绕点F顺时针方向旋转∠α(0°<α<90°),此时量角器的半圆弧与EF相交于点P,设点P处量角器的读数为n°.(1)用含n°的代数式表示∠α的大小;(2)当n°等于多少时,线段PC与MF平行?(3)在量角器的旋转过程中,过点M′作GH⊥M′F,交AE于点G,交AD于点H.设GE=x,△AGH的面积为S,试求出S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.

问题描述:

如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,点E、F分别在AB、DC上,AE=DF=2,现把一块直径为2的量角器(圆心为O)放置在图形上,使其0°线MN与EF重合;若将量角器0°线上的端点N固定在点F上,再把量角器绕点F顺时针方向旋转∠α(0°<α<90°),此时量角器的半圆弧与EF相交于点P,设点P处量角器的读数为n°.
(1)用含n°的代数式表示∠α的大小;
(2)当n°等于多少时,线段PC与MF平行?
(3)在量角器的旋转过程中,过点M′作GH⊥M′F,交AE于点G,交AD于点H.设GE=x,△AGH的面积为S,试求出S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.

(1)连接O′P,则∠PO′F=n°;
∵O′P=O′F,
∴∠O′FP=∠a,
∴n°+2∠α=180°,即∠α=90°-

1
2
n°;
(2)连接M′P、PC.
∵M′F是半圆O′的直径,
∴M′P⊥PF;
又∵FC⊥PF,
∴FC∥M′P,
若PC∥M′F,
∴四边形M′PCF是平行四边形,∠α=30°,
∴PC=M′F=2FC,∠α=∠CPF=30°;
代入(1)中关系式得:
30°=90°-
1
2
n°,
即n°=120°;
(3)以点F为圆心,FE的长为半径画弧ED;
∵GM′⊥M′F于点M′,
∴GH是弧ED的切线,
同理GE、HD也都是弧ED的切线,
∴GE=GM′,HM′=HD;
设GE=x,则AG=2-x,
设DH=y,则HM′=y,AH=2-y;
在Rt△AGH中,AG2+AH2=GH2,得:
(2-x)2+(2-y)2=(x+y)2
即:4-4x+x2+4-4y+y2=x2+2xy+y2
∴y=
4−2x
x+2

∴S=
1
2
AG•AH=
1
2
(2-x)(2-y)=
4x−2x2
x+2
(0<x<2)
即:S与x函数关系式为S=
4x−2x2
x+2
(0<x<2).
答案解析:(1)连接O′P,则∠PO′F=n°,因为O′P=O′F,所以∠O′FP=∠a,由三角形内角和定理得出结论;
(2)连接M′P,因为M′F是半圆O′的直径,所以M′P⊥PF,又因为FC⊥PF,所以FC∥M′P,若PC∥M′F,四边形M′PCF是平行四边形,故PC=M′F=2FC,∠α=∠CPF=30°,代入(1)中关系式即可;
(3)以点F为圆心,FE的长为半径画弧ED,由于GM′⊥M′F于点M′,则GH是弧ED的切线.同理GE、HD也都是弧ED的切线,GE=GM′,HM′=HD.设GE=x,则AG=2-x,再设DH=y,则HM′=y,AH=2-y;在Rt△AGH中,由勾股定理得y与x的关系式,再代入三角形的面积公式即可.
考试点:圆周角定理;三角形内角和定理;勾股定理;切线的判定.
知识点:本题综合考查了圆周角的判定定理,切线的性质及判定定理,勾股定理的运用,是一道综合性较好的题目.