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计算二重积分∬D1−x2−y21+x2+y2dσ，其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域．

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:01:09

问题描述：

计算二重积分

∬

D

1−x2−y2

1+x2+y2

dσ，其中D是由圆周x²+y²=1及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域．

答

在极坐标系下计算这个二重积分，
由题意，D={(r，θ)|0≤θ≤

π

2

，0≤r≤1}．
∴

∬

D

1-x2-y2

1+x2+y2

dσ=

∫

π

2

0

dθ

∫

10

1-r2

1+r2

rdr
=

π

2

.

1

2

∫

10

1-r2

1+r2

dr2

令r2=t

.

.

π

4

∫

10

1-t

1+t

dt
=

π

8

(π-2)．