关于利用等价无穷小代换求极限
问题描述：
关于利用等价无穷小代换求极限
我知道等价无穷小代换应该在乘积项里面用,但是我现在有一个困惑.
如果分子是两项和,比如（sinx+1-cosx）/x^2 ,那么可以不可以拆成（sinx/x^2）+（1-cosx）/x^2 这两项的和,然后分别用无穷小代换,再合起来呢?这道题应该是可以的吧?因为算出来是一样的.
但是如果拆开的两项还是未定式呢?是不是就不可以了?
我今天做一题,我拆开之后,两项分别用了无穷小代换,然后得到了两个相反的项,然后消掉为0了,但是实际上这个极限不为了0
请您帮我分析一下
答
等价无穷小代换只能用在乘除上,不能用在加减上我知道啊，您能不能回答问题里面我不知道的东西所谓等价无穷小其实为了求解极限方便而引入的概念，根据依然是泰勒展开，只不过是泰勒展开的低阶近似。之所以老师们一再强调只有乘除关系可以替换，是因为乘除关系中，展开的阶次不影响结果，但是加减中不同，例如sinx-x不能用x替换sinx，原因不是说sinx在加减位置上，而是因为此时sinx用x替换的误差太大，精度不够，导致减去x后变为0，而其实还有一个等价无穷小替换是sinx-x~x^3/6，这里之所以这样替换其实是将sinx展开到了更高的精度，这样计算才不会出错。谢谢您的回答，我的意思是，加减这种可不可以拆开成几项，然后分别用等价无穷小代换，然后再合起来？我认为是极限存在的情况下，就不能那么用，因为误差较大但极限是无穷大的情况下，误差相较于结果就不是那么重要了，我也不知道这么说对不对