旋转椭球面x^2+y^2+4z^2=9被平面x+2y+5z=0截得椭圆,求该椭圆的长半轴与短半轴

答

首先确定椭圆的中心,因为椭球面的中心在原点O,平面也过原点O,所以椭圆的中心也在原点O
根据题意,只要求出椭圆上到中心O的距离d^2=x^2+y^2+z^2的最大值和最小值即可.
根据条件极值的求法,
设P(x,y,z,λ1,λ2)=x^2+y^2+z^2+λ1(x^2+y^2+4z^2-9)+λ2(x+2y+5z)
令p'x=2x+2λ1x+λ2=0
p'y=2y+2λ1y+2λ2=0
p'z=2z+8λ1z+5λ2=0
p'λ1=x^2+y^2+4z^2-9=0
p'λ2=x+2y+5z=0
解得 四个极值点A(6/√5,-3/√5,0),B(-6/√5,3/√5,0),C(1,2,-1),D(-1,-2,1)
其中前两个为长轴端点,后两个为短轴端点,
所以长半轴a=AO=3
短半轴b=CO=√6咋用二次型转化标准型做，谢了没听说过呀，你给个例题吧。。我没见过这种解法，，，再说了那个空间椭圆的表达式也没法写出来啊。

你好，我能问下么，这个题目是你这一节的课后题么？？这是一个空间的椭圆，是三维空间的椭圆，不在任何一个坐标平面上。它的解析式写不出来，只能用这个椭球和平面的式子联立给出。你给的例子，那个椭圆是在xoy平面内的。。根本不是一回事。。好像是将z=1是一个总复习题，我在网上搜到的是将z的表达式代入椭球面方程化为x、y的二元二次方程后，用线性代数知识将这个方程(二次型)化为标准型，就可以直接得长短轴总复习题就不一定是那一部分的知识了。。你那求出来的也只是空间椭圆在xoy平面的投影，那也是个椭圆，也可以求出他的长短轴，但是那不是空间椭圆的长短轴，，你能把搜到的那个方法给我看下么？给我个链接http://zhidao.baidu.com/link?url=oZ3ziVNzUYxvw9m0Q-cOfmamqlSvVarQdTQj917swGRxbrQMjRBp-uHteieg5BZoNHgIynRkyILtmwk-xkzz3a谢谢了

他求的只是投影的长短轴，这是我用计算软件算的，，下面那个2.75593开平方才是长半轴。。

你要有啥疑问，请问吧。。没问题采纳了吧，反正分也不多。。以后这类题都是这么做的。。