在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△A
在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ___ ；此时
= ___ ；Q L
（2）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q= ___ （用x、L表示）．
（1）如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．
此时
=Q L
．2 3
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠MBD=∠NCD=90°．
在△MBD与△ECD中：
BM=CE ∠MBD=∠ECD BD=DC
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．
在△MDN与△EDN中：
，
DM=DE ∠MDN=∠EDN DN=DN
∴△MDN≌△EDN（SAS）．
∴MN=NE=NC+BM．
△AMN的周长Q=AM+AN+MN
=AM+AN+（NC+BM）
=（AM+BM）+（AN+NC）
=AB+AC
=2AB．
而等边△ABC的周长L=3AB．
∴
=Q L
=2AB 3AB
．2 3
（3）如图，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=x，
则Q=2x+
L（用x、L表示）．2 3