求解微分方程y''+y=e^x+cos x
问题描述：
求解微分方程y''+y=e^x+cos x
答
很容易证明,这个方程的解=齐次方程[y''+y=0]的通解+非齐次方程[y''+y=e^x]特解+非齐次方程[y''+y=cosx]的特解.
下面求通解,就直接根据公式了,具体可以看课本.
齐次方程的特征方程是λ²+1=0求出两个特征值i和-i,于是通解就是C[1]cosx+C[2]sinx.
然后y''+y=e^x很好猜,一看就是1/2 e^x是特解.
y''+y=cosx就麻烦了.有没有发现cosx里面x前面系数是1,恰好和一对共轭特征值±i碰一起了（也就是说通解里面也正好有cosx项）.对于这种情况,惯用方法是设特解为x(Acosx+Bsinx)（前面多乘一个x,如果和特征值“撞车”的时候特征值重数不止一重,而是n重,还要乘x^n）.然后带进方程[y''+y=cosx],计算吧,计算量也不大但是容易出错,细心点就能算出,结果是A=0,B=1/2
于是最终的通解y=C[1]cosx+C[2]sinx+1/2 e^x+1/2 xsinx（C[1]、C[2]为两个任意常数）