数学除法和方程式

第一章 数和数的运算
第一节 数的认识
知识要点
1、数的意义
（1）自然数：我们在数物体的时候,用来表示物体个数的0,1,2,3,……,都叫做自然数.1是自然数的记数单位.自然数既可以表示事物的多少（基数）,也可以表示事物的次序（序数）.如“每星期7天”中的“7”表示的是基数,“5月3日”中的“5”和“3”表示的是序数.一个物体也没有就用0表示.0是最小的自然数.
（2）整数和自然数：自然数都是整数,但只是整数的一部分（整数还包括负整数）.最小的一位数是1而不是0.
0的作用：①在数字中起占位作用,表示该位上没有单位；②表示起点；③表示界线.如温度计、数轴上的0,表示正、负数的分界线.
（3）分数：把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数.表示其中一份的数就是分数单位.
分数与除法的关系：分数是一种数,除法是一种运算,它们是两个不同的概念,但它们也有密切的内在联系.如：
（4）小数：把整数“1”平均分成10份,100份,1000份……这样的一份或几份是十分之几,百分之几,千分之几……可以用小数表示.
小数的分类：
（5）数位、位数和计数单位：各个计数单位所占的位置叫做数位.一个自然数含有数位的多少叫做位数.整数和小数都是按照十进制计数法写出的数,其中个、十、百……以及十分之一、百分之一……都是计数单位.
（6）整数和小数数位顺序表：
（7）百分数、成数和折扣：
①百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数.百分数也叫百分率或百分比.
②成数：农业上常用的名词.几成就是十分之几.
③折扣：商业上常用的名词.几折就是十分之几.
注意：百分数、成数和折扣只表示两个数的倍比关系,而分数除了表示倍比关系外,还可以是一个具体数量.
2、数的读法和写法
（1）整数的读法：从高位到低位,一级一级地读,每一级末尾的0都不读出来,其他数位连续有几个0都只读一个零.
（2）整数的写法：从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0.
（3）小数的读法和写法：整数部分按整数来读（写）,小数点读作点,小数部分依次读（写）出每一位上的数.
3、数的改写
（1）多位数的改写和省略：为了读写方便,我们常把一个较大的多位数,写成用“万”或“亿”作单位的数,先找到万位或亿位,再在万位或亿位上数的右下角点上小数点,并在后面写上“万”或“亿”,要用“=”；有时也可以根据需要省略这个数某一位后面的尾数,写成近似数.省略一般用“四舍五入法”,结果用“≈”.
（2）分数、小数与百分数的互化：
（3）一个最简分数,如果分母中含有2和5以外的质因数,则这个分数不能化成有限小数.
4、数的大小比较
（1）整数的大小比较：先看位数,位数多的数大；位数相同,从最高位看起,相同数位上的数大的那个数就大.
（2）小数的大小比较：先比较两个数的整数部分,整数部分大的那个数大；整数部分相同,再看它们的小数部分,从高位看起,依数位比较,相同数位上的数大的那个数就大.
（3）分数大小比较：分母相同的分数,分子大的分数大；分子相同的分数,分母小的分数大.分母不同的分数,先通分再比较.
第二节 数的整除和分数、小数的基本性质
知识要点
1、数的整除
（1）整除的意义：在小学阶段讲“数的整除”时所说的数一般指非0自然数.
数a除以数b,除得的商正好是整数而没有余数,我们就说,a能被b整除,或者说b能整除a.
（2）约数和倍数：如果a能被b整除,a叫做b的倍数,b叫做a的约数.
一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身.
一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的是它本身,它没有最大的倍数.
（3）奇数和偶数：能被2整除的数叫做偶数,因为0也能被2整除,所以最小的偶数是0；不能被2整除的数叫做奇数,最小的奇数是1.
（4）能被2,3,5整除的数的特征：
①能被2整除的数：个位是0,2,4,6,8.
②能被3整除的数：各位上的数的和能被3整除.
③能被5整除的数：个位上是0或5.
（5）质数和合数：一个数如果只有1和它本身两个约数,叫做质数；一个数,如果除了1和它本身,还有别的约数,就叫做合数.1既不是质数,也不是合数.最小的质数是2,最小的合数是4.
（6）分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数叫做这个合数的质因数.把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来,称为分解质因数.通常我们用短除法来分解质因数.
（7）公约数和最大公约数：几个数公有的约数叫做这几个数的公约数.其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数.
（8）互质数：公约数只有1的两个数,叫做互质数.
（9）公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数.其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.
（10）求最大公约数和最小公倍数的方法：一般采用短除法.如果两个数中大数是小数的倍数,小数是大数的约数,则大数是它们的最小公倍数,小数是它们的最大公约数.如果两个数是互质数,则它们的最大公约数是1,最小公倍数是两数相乘所得的积
2、分数、小数的基本性质
（1）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘上或者除以相同的数（零除外）,分数的大小不变.
（2）小数的基本性质：小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变.
（3）小数点位置移动引起小数大小变化：小数点向右移动一位,两位,三位……原来的数就扩大10倍,100倍,1000倍……反之,小数点向左移动一位,两位,三位……原来的数就缩小10倍,100倍,1000倍……
第三节 数的运算
知识要点
1、四则运算的意义和法则
（1）四则运算的意义：
数的
分类
运算名称 整 数 小 数 分 数
加 法 把两个数合并成一个数的运算. 与整数加法的意义相同. 与整数加法的意义相同.
减 法 已知两个数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算. 与整数减法的意义相同. 与整数减法的意义相同.
乘 法 求几个相同加数的和的简便运算. 小数乘整数与整数乘法的意义相同.
一个数乘小数,就是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少. 分数乘整数与整数乘法的意义相同.
一个数乘分数,就是求这个数的几分之几是多少.
除 法 已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算. 与整数除法的意义相同. 与整数除法的意义相同.
（2）四则运算的法则：
①加减法的法则：
同单位相加减,单位不变,单位的个数相加减
整 数 小 数 分 数
1.相同数位对齐；
2.从低位算起；
3.加法中满几十就向前一位进几；减法中不够减时,就从前一位退,退几当几十. 1. 相同数位对齐（小数点对齐）；
2. 从低位算起；
3.按整数加减法进行计算；
4.结果中的小数点和相加减的数里的小数点对齐. 1.同分母分数相加减,分母不变,分子相加减.
2.异分母分数相加减,先通分,然后计算.
3.结果能约分的要约分,是假分数的化成带分数.
②乘法、除法的法则：
乘
法 整 数 小 数 分 数
1.从个位乘起,依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数.
2.用第二个因数哪一位上的数去乘,得数的末位就和第二个因数的哪一位对齐.
3.再把几次乘得的数加起来. 1.按整数乘法法则先求出积.
2.看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位点上小数点. 1.分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母.
2.有整数的把整数看做分母是1的假分数.
3.有带分数的,通常先把带分数化成假分数.
除
法 除法是整数的除法：从被除数的高位起,除数是几位数,就先看被除数的前几位,如果不够除,就要多看一位.除到哪一位就要把商写在哪一位的上面.商的小数点和被除数的小数点对齐. 除数是小数的除法：先移动除数的小数点,使它变成整数.除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”）,然后按照除数是整数的除法进行计算. 甲数除以乙数（0除外）,等于甲数乘上乙数的倒数.
（3）四则运算各部分的关系：
2、运算定律和简便运算
（1）运算定律：
①加法交换律 a+b=b+a
②加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
③乘法交换律 a×b=b×a
④乘法结合率 a×b×c=a×(b×c)
⑤乘法分配律 a×(b+c)=a×b+a×c
（2）运算性质：
①减法的运算性质 a－(b+c)=a－b－c a－(b－c)=a－b+c
②除法的运算性质 a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c (a－b)÷c=a÷b－b÷c
3、四则运算的顺序
四则运算分为二级.加减法叫做第一级运算,乘除法叫做第二级运算.运算顺序：在一个没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,要从左往右依次计算；如果含有两级运算,要先做第二级运算,后做第一级运算.
在一个有括号的算式里,要先算小括号里面的,再算小括号外面的.
第二章 代数的初步知识
第一节 简易方程
知识要点
1、用字母表示数
（1）用字母可以表示我们学过的自然数、整数、小数、百分……
（2）用含有字母的式子,可以简明地表达数学概念、运算定律和数学计算公式.还可以简明地表达数量关系.
注意：（1）在含有字母的乘法里,乘号可以省略不写或用“•”表示.如：a×x写成ax或a•x.数和数相乘时,乘号不能省略.
（2）数字和字母相乘时,可以化简成数字放在最前面.如：a×4×b写成4ab.
（3）1与字母相乘时,1省略不写.如：a×1写成a.
2、简易方程
（1）等式：表示相等关系的式子叫等式.
（2）方程：含有未知数的等式叫方程.
（3）方程的使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.
（4）解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
（5）简易方程的解法步骤：①对于只有一步运算的方程,可用加法与减法、乘法与除法的互逆关系求解.对于含有二、三步运算的方程,先根据方程确定运算顺序,再根据四则运算的互逆关系求出方程的解.
②把求出的未知数的值,分别代入原方程两边计算（即求含有字母的式子的值）,如果原方程的等号两边相等,则所求得的未知数的值,是原方程的解.
第二节 比和比例
知识要点
1、 和比例
比 比例
意义 两个数相除又叫做两个数的比. 表示两个比相等的式子叫做比例.
基本性质 比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（零除外）,比值不变. 在比例里,两个内项的积等于两个外项的积.
2、 比、分数与除法的关系
比 “：”（比号） 前项 后项 比值
分数 “—”（分数线） 分子 分母 分数值
除法 “÷”（除号） 被除数 除数 商
3、 求比值和化简比的区别与联系
一般方法 结果
求比值 根据比值的意义,用前项除以后项. 是一个商,可以是整数、小数或分数.
化简比 根据比的基本性质,把比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（零除外）. 是一个比,它的前项和后项都是整数.
4、 比例尺
图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺.即图上距离：实际距离=比例尺.通常把比例尺写成前项（或后项）是1的比.
5、 正比例和反比例的区别与联系
相同点 不同点
特征 关系式
正比例关系 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化. 两种量中相对应的两个数比值一定. yx = k（一定）
反比例关系 两种量中相对应的两个数的积一定. x×y=k（一定）
第三章 应用题
第一节 一般复合应用题
知识要点
1、复合应用题
两步或两步以上的应用题,通常叫做复合应用题.复合应用题是由几道有联系的简单应用题组合而成的.不具备特定的结构特征和解题规律的复合应用题,叫做一般复合应用题.
2、一般复合应用题的解法
一般复合应用题无一定的解答规律,可以把它先分解成几个简单的一步应用题,分别求出间接问题,然后求出结果.在具体分析解答中,一般采用分析法,综合法,或分析综合法.对于比较复杂的问题,可以运用图示法、假设法、转化法等帮助分析.
（1）分析法：就是从问题入手,逐步分析题里的已知条件.
（2）综合法：就是从应用题的已知条件,逐步推向未知,直到求出解.
（3）分析综合法：是将分析法|综合法结合起来交替使用的方法.当已知条件中有明显计算过程时就用综合法顺推,遇到困难时再转向原题所提的问题用分析法帮忙,逆推几步,顺推和逆推联系上了,问题就解决了.
3、一般复合应用题的解题步骤
解答一般复合应用题,按照以下步骤进行：
（1）审清题意,并找出已知条件和所求问题；
（2）分析题目里的数量关系,从而确定先算什么,再算什么……最后算什么；
（3）列出算式,算出得数；
（4）进行检验,写出答案.
第二节 典型应用题
知识要点
1、典型应用题
用两步或两步以上运算解答的并且有一定解答规律的应用题叫典型应用题.如求平均数应用题、相遇问题、归一应用题等.要特别注意认识各类应用题的特点,并掌握其解题规律.
2、求平均数问题
（1）求平均数问题的特点：把各“部分量”合并为“总量”,然后按“总份数”平均,求其中一份是多少.
（2）求平均数问题的解题规律：解答这类问题的关键是先求出“总量”和“总份数”,然后用总量÷总份数=平均数.
（3）有些复杂的求平均数问题,我们根据平均数就是移出大数多出部分给小数后得到相等数的实质,用“移多补少法”解答.
3、归一问题
（1）归一问题的特点：从已知条件中求出“单一量”,再以“单一量”为标准去计算所求的量.归一问题通常分为正归一和反归一两种.
（2）归一问题的解题规律:在解题过程中,首先求出一个单位数量,然后以这个“单位量”为标准,根据题目的要求,用乘法算出若干个“单位量”是多少,这是正归一的解题规律.或用除法算出总量包含多少个“单位量”,这是反归一的解题规律.归一问题还可以用倍比问题的解题方法求解.
4、相遇问题
（1）特点：a.两个运动物体；b.运动方向相向；c.运动时间同时.
（2）解题规律：速度和×相遇时间=路程 路程÷速度和=相遇时间
路程÷相遇时间=速度和
第三节 分数、百分数应用题
知识要点
1、分数乘法应用题
已知一个数,求它的几分之几（百分之几）是多少,用乘法.
即“一个数×几分之几（百分之几）”.
用等式表示三量的关系：单位“1”的量×对应分率=对应数量
2、分数除法应用题
（1）已知一个数的几分之几（百分之几）是多少,求这个数,用除法.即“多少÷几分之几”.
用等式表示三量的关系：对应数量÷对应分率=单位“1”的量
（2）求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）,用除法.即“一个数÷另一个数”
用等式表示三量的关系：对应数量÷单位“1”的量=对应分率
3、工程问题的应用题
把工作总量用“1”表示,工作效率用单位时间内做工作总量的“几分之一”表示.根据工作总量与工作效率,就能求出合作完成工作的时间.
三量之间的关系式：工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作时间=工作效率
工作总量÷工作效率=工作时间
第四节 列方程解应用题
知识要点
1、列方程解应用题
列方程解应用题就是用字母代替应用题中的未知数,根据数量间的相等关系列方程,解方程.
2、列方程解应用题的一般步骤
（1）弄清题意,找出未知数并用x表示；
（2）找出应用题中数量间的相等关系,列方程；
（3）解方程；
（4）检验或验算,写出答案.
第五节 比和比例应用题
知识要点
比和比例应用题包括：比例尺、按比例分配和正反比例应用题.
（1）在比例尺应用题中,图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系式：图上距离：时间距离=比例尺.三个相关的量中,知道任意两个量,就可根据关系式,求出另一个量.在计算中,要注意各种量的单位在算式中必须统一.
（2）按比例分配的应用题：是把一个数量按照一定的比分配成几部分.按比例分配应用题是在比的意义、比与分数的关系的基础上来解决的.关键是要根据各部分之比,确定各部分量与总量之间的关系,即各部分占总量的几分之几.然后按照“求一个数（这里指分配的量）的几分之几是多少”的问题来解答.
（3）正比例应用题中的各种相关联的数量有正比例关系,关系式是：yx = k（一定）,反比例应用题中的各种相关联的数量有反比例关系,关系式是：x • y= k（一定）.解答正、反比例应用题,基本步骤是：
①分析数量关系,依据相关联的量之间的数量关系式,判定它们成什么比例；
②根据关系式列出等量关系式；
③设未知数,根据等量关系式列方程；
④解方程；⑤检验并写出答案
第四章 量的计算
知识要点
1、量、计量和计量单位的意义
事物的多少、长短、轻重、快慢等,这些可以测定的客观事物的特征叫做量.把一个要测定的量同一个作为标准的量相比较叫做计量.用来作为计量标准的量叫做计量单位.
2、常用计量单位及其进率
（1）长度、面积、地积、体积、容积、重量单位及其进率：
长度 1千米=1000米 1米=10分米=100厘米
1分米=10厘米 1厘米=10毫米
面积 1平方千米=1000000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1平方厘米=100平方毫米 地积 1平方千米=100公顷
1公顷=10000平方米
体积 1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1立方厘米=1000立方毫米 容积 1升=1000毫升
1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升
重量 1吨=1000千克 1千克=1000克
（2）常用时间单位及其关系：
①年月日之间的关系可用下表来说明：
一年有12个月,平年全年有365天,闰年全年有366天. 按大小月分 1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月是大月,每月有31天
4月、6月、9月、11月是小月,每月30天
2月既不是大月,也不是小月,平年2月28天,闰年2月29天
按四个季度分 1月、2月、3月属第一季度
4月、5月、6月属第二季度
7月、8月、9月属第三季度
10月、11月、12月属第四季度
②每个月分上、中、下三旬,上旬、中旬各有10天,下旬天数要根据月份确定,大月下旬11天,小月下旬10天 ,平年二月下旬8天,闰年二月下旬9天.
③1星期=7日 1日=24小时 1小时=60分 1分=60秒
④根据公历年份判断该年是平年还是闰年方法如下：
整百、整千的年份能被400整除,其他年份能被4整除的都是闰年,反之是平年.
3、同一类计量单位之间的化聚
（1）化法：把高级单位的单名数和复名数改换成低级单位的单名数的方法,叫做化法.主要用相应的进率乘高级单位的量数.
（2）聚法：把低级单位的单名数改换成高级单位的单名数或复名数的方法,叫做聚法.在聚的过程中,要用相应的进率去除相关的量数.
（3）化法和聚法的关系：
第五章 几何的初步知识
第一节 平面图形的认识和计算
知识要点
1、线
2、角
（1）角：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角.
（2）角的分类：
3、平面图形
（1）三角形
①三角形的定义：由三条线段首尾互相连接围成的图形叫三角形.
②三角形的分类：
（2）四边形
①四边形的定义：由四条线段依次连接围成的封闭图形叫四边形.
②四边形的分类：
（3）特征及周长、面积计算公式：
第六章 统计图表
知识要点
1、统计表
（1）统计表：把收集到的资料进行数据整理后制成表格,用来分析情况,反映问题.这种表格叫做统计表,它一般分为单式统计表、复式统计表和百分数统计表三种类型.
（2）制作统计表：制作统计表时,首先要搜集数据,整理数据,然后根据资料和制表要求确定表的格式和项目.一般统计表包括总标题（表的名称）、纵标目（每一纵栏的标题）、横标目（每一横栏的标题）、数据资料栏等,此外还应注明数量单位和制表日期,必要时,还要注明制表人.
2、统计图
（1）统计图：用点、线、面等来表示相关联的量之间数量关系的图形,叫做统计图.常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种.
（2）条形统计图：
①条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少画成长短不同的直条,然后把这些直条按照一定的顺序排列起来.从条形统计图中很容易看出各种数量的多少.
②条形统计图的绘制方法：
a.整理数据；b.画出纵轴和横轴,用一个长度单位表示一定的数量；c.根据数量的多少画成宽窄一样,长短不同的直条,并按一定顺序排列起来；d.写出统计图的名称和制图日期,并标出图例.
（3）折线统计图
①折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少描出各点,然后把各点用线段顺次连接起来.它不但可表示数量的多少,而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况.
②折线统计图的绘制方法：
a.整理数据；
b.画出纵轴和横轴,用一个长度单位表示一定的数量；
c.根据数量的多少描出各点,再把各点用线段顺次连接起来；
d.写出统计图的名称和制图日期,并标出图例.