已知n阶矩阵A 满足A^2=A+6I,证明1).A的行列式不等于5 2).当A的行列式=72时,求n.
问题描述：
已知n阶矩阵A 满足A^2=A+6I,证明1).A的行列式不等于5 2).当A的行列式=72时,求n.
已知n阶矩阵A 满足A^2=A+6I,证明1).A的行列式不等于5 2).当A的行列式=72时,求n.
答
1）n阶矩阵A 满足A^2=A+6I,设x是A的任意特征值,a是属于x的特征向量,则
Aa=xa
由A^2=A+6I得,A^2-A-6I=0
所以（A^2-A-6I）a=0,
A^2a-Aa-6a=0,
x^a-xa-6a=0
因为a≠0
所以x^2-x-6=0
x=3,或x=-2
可见A的特征值只能是3或-2.而A的行列式等于其所有特征值的乘积,故A的行列式不等于5.
2）应该是当A的行列式=-72时,因为-72=3×3×(-2)×(-2)×(-2),为五个特征值的乘积,所以
n=5.谢谢..我其实就是非常纠结那个72..题目上写的就是72..但是我怎么就觉得是-72..看来不单单是我一个人这么认为了..72应该不可能，也许题目有印刷错误。