第二册上,32页的复习参考A,第三题已知abc是不全相等的正数求证（ab+a+b+1)（ab+ac++bc+c的平方）大于16abc

方法1：ab+a+b+1>=4*(a*b*a*b*1)^1/4 等号当且仅当a=b=1时成立 ab+ac+bc+c*c>=4*(ab*ac*bc*c*c)^1/4 等号当且仅当a=b=c时成立 (ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c*c)>=16abc 等号当且仅当a=b=c=1时成立 由于a b c是不全相等的正数,所以(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c*c)大于16abc 方法2：原式=(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) a+1>=2根号a 当且仅当a=1时取等号 b+1>=2根号b 当且仅当b=1时取等号 a+c>=2根号ac 当且仅当a=c时取等号 b+c>=2根号bc 当且仅当b=c时取等号 又因为a和b不同时等于1 abc都不相等 所以上面4项至多有一项取等号 且取等号的项>1 所以原式>2根号a*2根号b2根号ac*2根号bc=16abc 2(a^3+b^3+c^3)≥ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 因为a^3+b^3==(a+b)(a^2-ab+b^2) 又 a^2+b^2≥2ab 所以a^3+b^3≥ab(a+b) a^3+c^3≥ac(a+c) b^3+c^3≥bc(b+c) 所以2(a^3+b^3+c^3)≥ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)成立 方法二：a^3+a^3+b^3>=3a^2b a^3+a^3+c^3>=3a^2c b^3+b^3+a^3>=3b^2a b^3+b^3+c^3>=3b^2c c^3+c^3+a^3>=3c^2a c^3+c^3+b^3>=3c^2b 各式相加得到 6(a^3+b^3+c^3)>=3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b) 所以2(a^3+b^3+c^3)>=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b =a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b) 方法三：2(a^3+b^3+c^3)-[a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)] =a^2(a-b)+a^2(a-c)+b^2(b-c)+b^2(b-a)+c^2(c-a)+c^2(c-b) =(a^2-b^2)(a-b)+(c^2-a^2)(c-a)+(b^2-c^2)(b-c) =(a+b)(a-b)^2+(c+a)(c-a)^2+(b+c)(b-c)^2≥0 =>：2(a^3+b^3+c^3)≥a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)