求证ln(1+x)~x 还有听说证明同阶无穷小可以有两个函数的导数比,

是这样的,有关的定理是一步步来的,
当x→0的时候,ln(1+x)和x的函数值都是趋近于0,二者比值的极限不能直接去求,必须用洛必达法则求,
lim[ln(1+x)/x]=lim[1/(1+x)]/1=1
中间式子就是分子和分母分别求导得到的结果.
因此,在x→0的时候,二者比值的极限等于1,说明二者是等价无穷小
而x→∞时,二者都是趋近于无穷大的,因此没有所谓同价无穷小的问题.
但是可以转换成1/ln(1+x)和1/x来比较.
洛必达法则的证明要用到柯西中值定理,而证明柯西中值定理需要用到罗尔定理,相关证明你可以在百度上搜索.
总的来说就是用罗尔定理证明柯西中值定理,用柯西中值定理证明洛必达法则,最后用洛必达法则证明x→0时,ln(1+x)~x.
不过一般前两部省略,洛必达法则是可以直接用的,遇到不定型比值极限（如0/0,∞/∞等形式） 可以直接将分母和分子分别求导（此时是一阶导数）,然后看能否得到目标点的极限值,如果还是不定型,则继续求导（此时是二阶导数）,还是不定型则继续求,但是前提条件是,分子和分母在目标点附近的各阶次导数都是存在的.