证明夹在相邻两个平方数之间的正整数的平方根是无理数
问题描述：
证明夹在相邻两个平方数之间的正整数的平方根是无理数
如题
答
在《华罗庚数学学校课本·初中三年级》有这个结论的证明.*电视台曾经播放过该讲座.
设n^2若不然,√ q是n与n+1之间的有理数,可设√ q=n+b/a,其中a、b为既约正整数,显然0q=√ q^2=(n+b/a)^2=n^2+b^2/a^2+2nb/a应为整数,故b^2/a^2+2nb/a=(b^2+2anb)/a^2为整数,即a^2|(b^2+2anb),当然有a|(b^2+2anb),显然a|2anb,故a|b^2.
设a有素因子p（有可能p=a）,则由a|b^2、p|a知p|b^2,从而p|b,于是p是a、b的一个公因子,这与a、b既约矛盾.
故√ q是不可能是有理数.