1997个数排成一行,除两头的两个数之外,其余每数的3倍恰好等于与它相邻前后两数之和,这一行数最左边的几个数是:0,1,3,8,…,问最右边那个数除以6余几?

问题描述:

1997个数排成一行,除两头的两个数之外,其余每数的3倍恰好等于与它相邻前后两数之和,这一行数最左边的几个数是:0,1,3,8,…,问最右边那个数除以6余几?

设相邻的三个数为an-1,an,an+1.根据题设有3an=an-1+an+1,所以an+1=3an-an-1
设an=6q1+r1,an-1=6q2+r2.则
an+1=3×(6q1+r1)-6q2+42
=6(3q1-q2)+(3r1-r2
由此可知,an+1除以6的余数等于(3r1-r2)除以6的余数.
这一行数是:0,1,3,8,21,55,144,377,987,2584,6765,17711,46368,121393,317811,832040,2178309,5702887,14930352,39088169,102334155,267914296,701408733,1836311903…
所以这一行数中被6除的余数分别为:
0,1,3,2,3,1,0,5,3,4,3,5,0,
可以发现,12个数为一个循环,所以
1997÷12=166…5,
由此可知第1997个数除以6余3.