一道高数微分中值定理不等式证明题设x＞0,证明：ln(1+x)＞(arctanx)/(1+x).在用柯西定理证明的时候,令f(x)=(1+x)ln(1+x),g(x)=arctanx,但是x明明是大于0的,为什么可以对[f(x)-f(0)]/[g(x)-g(0)]应用柯西定理?x不是题设的范围内的数啊,为什么可以代入题中?
问题描述：
一道高数微分中值定理不等式证明题
设x＞0,证明：ln(1+x)＞(arctanx)/(1+x).
在用柯西定理证明的时候,令f(x)=(1+x)ln(1+x),g(x)=arctanx,但是x明明是大于0的,为什么可以对[f(x)-f(0)]/[g(x)-g(0)]应用柯西定理?x不是题设的范围内的数啊,为什么可以代入题中?
答
六窍是通的
答
当构造f(x)=(1+x)ln(1+x),g(x)=arctanx时,这两个函数应该说明是定义在 [0,正无穷）上面的.
应该就没有问题了.
也就是说 在 [0,正无穷）上定义f,g.然后利用柯西定理得到 所求结论.