设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量|X-Y|的方差.

问题描述:

设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为

1
2
的正态分布,求随机变量|X-Y|的方差.


令:Z=X-Y,
则由于X,Y相互独立,且服从正态分布,因而Z也服从正态分布,
且EZ=EX-EY=0-0=0,DZ=D(X-Y)=DX+DY=

1
2
+
1
2
=1,
因此,Z=X-Y~N(0,1),
∴E|X-Y|=E|Z|=
+∞
−∞
|z|
1
e
z2
2
dz
=
2
+∞
0
ze
z2
2
dz
=
4
e
z2
2
|
+∞
0
2
π

又:D|X-Y|=D|Z|=E|Z|2-[E|Z|]2=EZ2-[E|Z|]2=DZ+[EZ]2-[E|Z|]2=1+0-[E|Z|]2=1-[E|Z|]2
D|X−Y|=1−
2
π

答案解析:先将X-Y的期望和方差计算出来,进而指出X-Y所服从的分布,再计算D|X-Y|.
考试点:正态分布的数学期望和方差.
知识点:将所要求的方差转化为已知的方差和期望来求,会减少计算量.此题当然也可以用方差的定义来求.