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想请问一个关于矩阵正交补空间的问题如果一个矩阵M,子空间M的正交补空间为M1.我想请问一下M*x≠0和M1*x=0是等价的吗?我的意思是指他们所有解的集合是不是等价的，也就是 s1={x|M*x≠0}和s2={x|M1*x=0} 中的 s1和s2是不是相等的？

分类: 作业答案 • 2022-01-04 13:14:03
问题描述：

想请问一个关于矩阵正交补空间的问题
如果一个矩阵M,子空间M的正交补空间为M1.
我想请问一下M*x≠0和M1*x=0是等价的吗?
我的意思是指他们所有解的集合是不是等价的，也就是
s1={x|M*x≠0}和s2={x|M1*x=0} 中的 s1和s2是不是相等的？

答

设R（M）＝r＜n（n是M的阶） 子空间M的意思应该明确为M的行向量集合所生成的Kn的子空间。则M的正交补其实就是S1[只需把列向量转置成行向量即可。注意Mx＝0就是M的行与x“正交”]
如果不计较行列差别，则S1＝M1, S2＝M.它们当然不是等价的，首先这两个子空间维数就不一样，一个是n-r,一个是r.

答

当然不等价的,以二维空间举个例：
M*x≠0是叫做一定含有水平方向分量,但是可能含有也可能不含有垂直分量.
M1*x=0叫做一定不含有垂直分量.
区别很明显了吧

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