设z1是虚数，z2＝z1+1z1是实数，且−1≤z2≤1（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若ω＝1−z11+z1，求证：ω为纯虚数．
问题描述：
设z1是虚数，z2＝z1+
是实数，且−1≤z2≤11 z1
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
（2）若ω＝
，求证：ω为纯虚数． 1−z1
1+z1
答
（1）设z1=a+bi（a，b∈R，且b≠0），则z2＝z1+1z1＝a+bi+1a+bi＝(a+aa2+b2)+(b−ba2+b2)i∵z2是实数，b≠0，∴有a2+b2=1，即|z1|=1，∴可得z2=2a，由-1≤z2≤1，得-1≤2a≤1，解得−12≤a≤12，即z1的实部的取值范...
答案解析：（1）设出复数，根据两个复数之间的关系，写出z2的表示式，根据这是一个实数，得到这个复数，根据条件中所给的取值范围，得到要求的a的取值．
（2）根据上一问设出的复数，表示出ω，进行复数除法的运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理变化，得到最简形式，得到这是一个纯虚数．
考试点：复数代数形式的混合运算．
知识点：本题考查复数的加减乘除运算，是一个综合题，解题时的运算量比较大，又用到复数的有关概念，注意解题时的格式．