椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1和x轴,y轴正半轴交于A,B,在弧AB上有一点C,求四边形OACB的最大面积
问题描述：
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1和x轴,y轴正半轴交于A,B,在弧AB上有一点C,求四边形OACB的最大面积
答
连接AB,则四边形OABC被分成三角形OAB与三角形ABC,其中三角形OAB的面积是固定的,所以只要求三角形ABC的最大面积.而三角形ABC的一条边AB的长也是固定的,所以只要求AB边上高的最大值,即椭圆上C点到直线AB的最大距离.做一条平行于AB的直线与椭圆在第一象限相切,切点就是C,此时C到AB的距离是最大的.
设平行直线的方程为y=(-b/a)x+k,代入椭圆方程得：
2b²x²-2abkx+a²k²-a²b²=0,因为相切所以只有一个交点,所以这个关于x的方程的判别式Δ=0,推出(2abk)²-4×2b×(a²k²-a²b²)=0,得到k=√2b
所以直线方程为bx+ay-√2ab=0,点A(a,0)到此直线的距离为:
(√2-1)ab/√(a²+b²),所以三角形ABC的面积为(√2-1)ab/2,再加上三角形ABO的面积ab/2,所以四边形OACB的最大面积为√2ab/2
打得累死了~希望对你有所帮助