一道圆锥曲线题,椭圆,要求用参数方程解!(x^2)/9+(y^2)/4=1 一直线与该椭圆交于M,N两点.有OM与ON垂直,求|OM|·|ON|的最大值 答案是直线与X轴垂直时有最大值 答案是72/13 我可以元普通的直线方程解开,但是用参数方程怎么解都是6!
问题描述：
一道圆锥曲线题,椭圆,要求用参数方程解!
(x^2)/9+(y^2)/4=1 一直线与该椭圆交于M,N两点.有OM与ON垂直,求|OM|·|ON|的最大值 答案是直线与X轴垂直时有最大值 答案是72/13 我可以元普通的直线方程解开,但是用参数方程怎么解都是6!
答
这题是有个结论很好用1/|OM|^2+1/|ON|^2=1/a^2+1/b^2
设M(|OM|cost,|OM|sint)
N(|ON|cos(t+π/2),|ON|sin(t+π/2))=(-|ON|sint,|ON|cost)
代入方程得到：
|OM|^2cos^2t/9+|OM|^2sin^2t/4=1得到：cos^2t/9+sin^2t/4=1/|OM|^2
同样可以得到 sin^2t/9+cos^t/4=1/|ON|^2
相加所以有：1/9+1/4=1/|OM|^2+1/|ON|^2>=2/|OM|*|ON|
所以|OM|*|ON|>=72/13
最大值取得就是|OM|=|ON|
严格说来这并不是椭圆方程的标准参数方程,但是却有奇效