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已知0≤x≤1，f（x）=x2−ax+a2(a＞0)，f（x）的最小值为m．（1）用a表示m；（2）求m的最大值及此时a的值．

分类: 作业答案 • 2022-01-04 12:19:18
问题描述：

已知0≤x≤1，f（x）=x2−ax+

a
2
(a＞0)，f（x）的最小值为m．
（1）用a表示m；
（2）求m的最大值及此时a的值．

答

（1）∵f′(x)＝2x−a＝2(x−

a
2
)，
①当a＞2时，
a
2
＞1，f′（x）＜0，∴f（x）在[0，1]上单调递减，在x=1处取得最小值f（1）=1-a+
a
2
=1−
a
2
．
②当0＜a＜2时，0＜
a
2
＜1，令f′（x）=0，解得x=
a
2
，列表如下：
由表格可知：f（x）在x=
a
2
处取得极小值f(
a
2
)＝−
a2
4
+
a
2
，也是最小值．
③当a=2时，在x∈[0，1]上，f′（x）=2（x-1）≤0，∴函数f（x）单调递减，在x=1处取得最小值0．
综上可知：m=
−
a2
4
+
a
2
，当0＜a≤2时
1−
a
2
，当a＞2时
．
（2）①当0＜a≤2时，m′（a）=−
1
2
a+
1
2
=
1−a
2
，当0＜a＜1时，m′（a）＞0，函数m（a）单调递增；当1＜a≤2时，m′（a）＜0，函数m（a）单调递减．
可知当a=1时，m（a）取得极大值
1
4
，也是最大值；
②当a＞2时，m（a）=1−
a
2
在（2，+∞）上单调递减，m（a）＜m（2）=0．
综上可知：只有当a=1时，m（a）取得最大值
1
4
．
答案解析：（1）通过对a分类讨论，利用导数即可求出；
（2）由表达式利用导数即可求出其最大值．
考试点：二次函数的性质．
知识点：熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．

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