九年级上册数学（华东师大版）23.1 一元二次方程基础巩固题第14题若方程X2+2AX+B2=0 与X2+2CX-B2=0有一个相同的实数根,且A,B,C为正数,A不等于C,求证：A,B,C为直角三角形的三边

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联立两个方程X2+2AX+B2=0 ，X2+2CX-B2=0，解得共同根为x=B*B/(C-A),再将此根代入上面任意一个方程，化简整理得：B^2+C^2=A^2，即A，B，C为直角三角形的三边 ,证毕.

因为具有相同实根,所以不妨设这个实根为m
所以m²+2Am+B²=0.(1)式,m²+2Cm-B²=0.(2)式
(1)-(2)
2(A-C)m+2B²=0,∴m=B²/(A-C)
(1)+(2)
2m²+2(A+C)m=0,∴m=0或者m=-A-C
因为m是唯一的,又因为B²≠0
所以m=B²/(A-C)=-A-C,即B²=C²-A²,即A²+B²=C²
所以A,B,C为直角三角形的三边