若直线y=3x+1是曲线y=ax^3的切线,试求a的值
问题描述：
若直线y=3x+1是曲线y=ax^3的切线,试求a的值
答
对直线和曲线求导得 y' = 3 和 y' = 3ax^2
设切点 x 坐标为 t，则切线斜率为 3at^2 = 3 ，y 坐标为 at^3 = 3t + 1
∴ at^2 = 1
带入切点 y 坐标表达式，得 t = 3t + 1 ，得 t = -1/2 。
带入 at^2 = 1, 得 a = 4
答
设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有:
y0=3x0+1①,y0=ax03②,3ax02=3.③
由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代入上式可得:
3x0+1=x0,x0=-1/2.
所以a•(-1/2)3=1,a=4.