位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比怎么证明啊?书本上仔细观察了下,使用“显然相似”得到平行,再得到这个定理的；可是怎么证明呢?
问题描述：
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比
怎么证明啊?书本上仔细观察了下,使用“显然相似”得到平行,再得到这个定理的；
可是怎么证明呢?
答
我不知道你的书上用的什么定义,具体的证明过程是什么.中学课本上有大量的推导都是不严格的.
图形X和Y位似的定义是存在定点O,常数C,以及X->Y的双射f,使得X中任意一点xi有xi,O,f(xi)共线且C|Oxi|=|Of(xi)|.
很显然,你的书用的不是这样的定义,而把距离成比例作为了性质,那么必然需要一条别的条件来代替距离成比例这个条件.
我给你一个证明方法,最后一步需要用你自己按书上的定义补全.
如果X和Y关于O点位似,在X的边界上任取两点x1(x1与O不重合),x2,其对应点是y1,y2.如果|Ox1||Oy2|!=|Ox2||Oy1|,那么把X变换到Z,使得x1的对应点z1=y1且图形的所有对应点xi和zi满足|Ox1||Ozi|!=|Oxi||Oz1|,那么X和Z位似,此时z2和y2不重合,注意到x1,x2,y1=z1,y2,z2都是边界上的点,所以边界上的曲线段y1y2和z1z2不重合,这里用一下你的书上的定义中的条件来导出矛盾.
通俗地讲就是把X用位似变换变到本应该和Y重合的位置,如果存在点不重合的话利用点共线的性质来得到矛盾.