求sa+aa+aaa+aaaa+aa...a的值,其中a是一个数字.例如2+22+222+2222+22222+222222(此时共有6个数相加),几个数相加有键盘控制.

s=a+aa+aaa+aaaa+aa...a
=(a/9)*(10^1+10^2+……+10^n)-n*(a/9)
=(a/9)*[10^1*(1-10^n)/(1-10)]-an/9
=(a/9)*(10*10^n)/9-(a/9)*(10/9)-an/9
=a*10^(n+1)/81-10a/81-an/9

2+22+222+2222+22222+222222
=2/9(9+99+999+9999+99999+999999)
=2/9(10+10^2+10^3+10^4+10^5+10^6-6)
=2/9(1111110-6)
=2/9*1111104
=246912
此方法可类比到所有类似求和。

aa...a(n个)=a*10^(n-1)+a*10^(n-2)+……+a*10^1+a*10^0
这是以a为首项,10为公比的等比数列,有n项
=a*(1-10^n)/(1-10)
=a*10^n/9-a/9
所以s=a+aa+aaa+aaaa+aa...a
=(a/9)*(10^1+10^2+……+10^n)-n*(a/9)
=(a/9)*[10^1*(1-10^n)/(1-10)]-an/9
=(a/9)*(10*10^n)/9-(a/9)*(10/9)-an/9
=a*10^(n+1)/81-10a/81-an/9